অঙ্কের খেলা – পর্ব ৮

১৯. জাদু বর্গক্ষেত্র

৭ নং ছবিতে ১৮টা ডোমিনো ঘুঁটির একটা বর্গক্ষেত্র আছে। এর সবচেয়ে মজা হলো ওপর নীচে, পাশাপাশি বা কোনাকুনি, এর সব দিকের বাহুতেই ফোঁটা আছে ১৩টা। অনাদিকাল থেকে এই বর্গগুলোকে বলা হয় ‘জাদু-বর্গক্ষেত্র’।

১৮টা ঘুঁটি দিয়ে আরও কয়েকটা জাদু-বর্গক্ষেত্র তৈরি করো তো, অবশ্য ফোঁটার সংখ্যাগুলো আলাদা হবে। বাহুগুলোতে ফোঁটার যোগফল কমপক্ষে হতে পারে ১৩, আর সবচেয়ে বেশি হতে পারে ২৩। ২০. ছোট থেকে বড় করে ডোমিনো ঘুঁটি সাজানো

৮ নং ছবিতে খেলার নিয়মকানুন মেনে ছয়টা ডোমিনো ঘুঁটি সাজানো আছে। প্রতি ঘুঁটিতে ফোঁটার সংখ্যা এক এক করে বেড়ে গেছে। যেমন, প্রথমটায় আছে চারটে, দ্বিতীয়টায় পাঁচটা, তৃতীয়টায় ছয়টা, চতুর্থতে সাতটা, পঞ্চমটায় আটটা আর ষষ্ঠটায় আছে নয়টা।

এভাবে সমান সমান সংখ্যায় পরপর বেড়ে গেলে অথবা কমে গেলে সেই সংখ্যার সারিকে বলা হয় ‘পাটিগণিতের প্রগতি’। এখানে, প্রত্যেক সংখ্যা তার আগের সংখ্যা থেকে এক বেশি, কিন্তু এই ‘তফাতটা’ অন্যরকমও হতে পারে।

তোমাদের ছয়টা ঘুঁটি দিয়ে আরও কয়েকটা এই রকম সারি বানাতে হবে।

এই ধাঁধার মূল জিনিসটার সঙ্গে পাঠকদের পরিচয় করিয়ে দেব। সবশুদ্ধ ব্যাপারটা ভয়ানক জটিল, বীজগণিতের সুক্ষ্ণ জিনিসগুলোর সঙ্গে এর সম্পর্ক। এ সম্পর্কে আহ্‌রেনস লিখেছিলেন:

‘কাজটা হলো, খালি জায়গাটা ব্যবহার করে ঘুঁটিগুলো এমনভাবে সরাতে হবে যে, শেষ পর্যন্ত ১৫টা ঘুঁটিকেই ঠিক পরপর সাজানো যায়, অর্থাৎ ১ম ঘুঁটিকে রাখতে হবে ওপরে বাঁদিকের কোণে, ২য় ঘুঁটিকে এর ঠিক ডানদিকে, তারপর ৩য় ঘুঁটি, ৪র্থ ঘুঁটি ওপরের ডানদিকের কোণে। ঠিক এভাবেই ৫ম, ৬ষ্ঠ, ৭ম এবং ৮ম ঘুঁটিকে সাজাতে হবে পরের সারিতে। এভাবে চলবে (১০ নং ছবি)।

‘ধরে নাও যে ঘুঁটিগুলো সব এলোমেলো করে সাজানো আছে। ১ম ঘুঁটিকে কয়েক বার চাল দিয়ে তার নিজের জায়গায় এনে ফেলা সবসময়েই সম্ভব।

‘এখন ১ম ঘুঁটিকে না ছুঁয়ে ২য় ঘুঁটিকে তার পরের খোপে এনে রাখাও তেমনভাবেই সম্ভব। তারপর ১ম ও ২য় ঘুঁটিকে না ছুঁয়ে ৩য় ও ৪র্থ ঘুঁটিকেও তাদের জায়গায় আনা চলবে। যদি এমন হয় যে তারা ওপর নীচে লম্বা শেষ দুটো সারিতে না থাকে তাহলেও তাদের সে জায়গায় সহজেই নিয়ে এসে ইচ্ছেমতো সাজানো যায়। ওপরের সারিতে ১ম, ২য়, ৩য় আর ৪র্থ ঘুঁটি এখন ঠিক জায়গা মতন আছে। এরপরের চালগুলোতে এই চারটে ঘুঁটিকে আমরা একেবারে আলাদা রেখে দেব। ঠিক একই ভাবে আমরা ৫ম, ৬ষ্ঠ, ৭ম আর ৮ম ঘুঁটিটাকে সাজাতে চেষ্টা করলে দেখব তাও সম্ভব। এরপর আবার দুটো সারিতে ৯ম ও ১৩শ ঘুঁটি দুটিকে ঠিক জায়গায় বসানো দরকার হবে। একবার ঠিক করে সাজানো হয়ে গেলে ১ম, ২য়, ৩য়, ৪র্থ, ৫ম, ৬ষ্ঠ, ৭ম, ৮ম, ৯ম ও ১৩শ ঘুঁটিকে আর নড়ানো হবে না। এখন তাহলে থাকল ছয়টা খোপের মধ্যে একটা খালি, আর বাকিগুলোতে এলোমেলো হয়ে ছড়িয়ে আছে ১০ম, ১১শ, ১২শ, ১৪শ আর ১৫শ ঘুঁটি। ১০ম, ১১শ, ১২শ দুটিকে বারবার চাল দিয়ে ঠিকমতো সাজানো সবসময়ই চলতে পারে। এটা করা হয়ে গেলে, ১৪শ আর ১৫শ ঘুঁটি দুটি নিচের সারিতে, হয় সঠিক জায়গায় আর না হলে অন্য জায়গায় থাকবে (১১ নং ছবি)। তোমরা নিজেরাই দেখতে পাবে যে, এভাবে আমরা এইরকম একটা অবস্থায় এসে পৌঁছেছি:

‘ঘুঁটিগুলোকে যেকোনভাবে সাজানো অবস্থা থেকে আমরা হয় ১০ নং ছবির মতন (১ম অবস্থা) বা ১১ নং ছবির মতন (২য় অবস্থা) অবস্থায় আনতে পারি।

‘কোন একটা বিশেষ ধরনের সাজানোকে যদি আমরা ছোট্ট করে নাম দিই ‘স’ আর এটাকে ১ম অবস্থায় এনে সাজানো যায়, তাহলে বেশ বোঝাই যাচ্ছে যে ওটাকে আমরা উল্টেও সাজাতে পারব; অর্থাৎ ১ম অবস্থা থেকে উল্টে ‘স’ ধরনে সাজাতে পারব। কেননা, সব চালই আবার ফেরানো যায়। উদাহরণ দিচ্ছি। ১ম অবস্থায় ১২ নং ঘুঁটিকে যদি আমরা খালি থোপে চালান করতে পারি তাহলে তাকে সেখান থেকে আগের জায়গায়ও আনতে পারি।

"তাহলে আমরা দু'ধরনের সাজানো সারি পেলাম: প্রথমটায় ঘাটিগুলোকে আমরা নিয়মিতভাবে সাজাতে পারি (১ম অবস্থা), আর দ্বিতীয়টায় আমরা ঘাঁটিগুলোকে সাজাতে পারি ২য় অবস্থায়। আবার উল্টে গিয়ে, নিয়মিত সারি থেকে আমরা প্রথম ধরনের বিন্যাসের যেকোন একটা ধাপে যেতে পারি, আর দ্বিতীয় অবস্থা থেকে দ্বিতীয় ধরনের বিন্যাসের যেকোন একটা ধাপে পৌঁছতে পারি। তাহলে শেষটা এই দাঁড়াচ্ছে যে, কোনো এক ধরনের বিন্যাসের এক ধাপ থেকে আর এক ধাপে চলে যাওয়া যায়।

‘১ম অবস্থা থেকে কি ২য় অবস্থায় যাওয়া সম্ভব? (খুঁটিনাটির ভেতর না গিয়ে) এটা সত্যিই প্রমাণ করা যায় যে অনবরত চাল দিলেও তা সম্ভব নয়। তাহলে, ঘুঁটিগুলোর এই বিরাট সংখ্যার বিন্যাসকে দুটো ভাগে ভাগ করা যায়: প্রথম ভাগ হলো যাতে ঘুঁটিগুলোকে স্বাভাবিক নিয়মে সাজানো যায়, অর্থাৎ সমাধানের যোগ্য; আর দ্বিতীয় ভাগে ঘুঁটিগুলোকে কখনই স্বাভাবিক নিয়মে সাজানো চলে না, অর্থাৎ সমাধানাতীত। এই দ্বিতীয় ভাগের বিন্যাসগুলো সমাধান করার জন্যই বিরাট বিরাট পুরস্কার ঘোষণা করা হতো।

‘ঘুঁটিগুলোর কোনো এক ধরনের অবস্থান কোন বিন্যাসের ভেতর পড়ে, তা বলার কি কোন উপায় আছে? আছে, তারই একটা উদাহরণ দেওয়া হলো। (১২ নং ছবি)।

‘১২ নং ছবির ঘুঁটিগুলোর অবস্থান পরীক্ষা করা যাক। প্রথম সারির ঘুঁটিগুলো ঠিকই আছে, দ্বিতীয় সারিও ঠিক আছে কেবল ১ম ঘুঁটি বাদে। ঘুঁটিটা আসলে ৮-এর জায়গাটা দখল করে আছে। তাহলে ৯ম ঘুঁটি রয়েছে ৮ম ঘুঁটির আগে। স্বাভাবিক নিয়মের এই ব্যতিক্রমকে বলা হয় 'অনিয়ম'। ৯ম ঘুঁটি সম্পর্কে আমরা বলব, এখানে একটা ‘অনিয়ম’। আরও পরীক্ষা করলে দেখা যাবে যে ১৪শ ঘুঁটি তার নিজের জায়গা থেকে তিন ধাপ আগে এসে গেছে, তার মানে ওটি ১১শ, ১২শ ও ১৩শ ঘুঁটির আগেই জায়গা নিয়েছে। এখানে আমরা তিনটে ‘অনিয়ম’ পাচ্ছি (১৪, ১২-র আগে; ১৪, ১৩-র আগে; ১৪, ১১-র আগে)। সব মিলিয়ে হলো ১ + ৩ = ৪টা ‘অনিয়ম’। আবার ১২শ ঘুঁটি এসেছে ১১শ ঘুঁটির আগে, যেমন ১৩শ ঘুঁটি এসেছে ১১শ ঘুঁটির আগে। এখানে আমরা পেলাম আরও দুটো ‘অনিয়ম’। সবশুদ্ধ 'অনিয়ম' হল ৬টা। প্রথমে নীচের ডানদিকের খোপটা বেশ খেয়াল করে খালি করে নেবে, তাহলে এভাবে প্রত্যেক বিন্যাসে 'অনিয়মের' সংখ্যা বের করা যায়। অনিয়মের মোট সংখ্যা যদি জোড় সংখ্যা হয়, যেমন এখানে হয়েছে, তাহলে ঘাঁটিগুলোকে নিয়মিতভাবে সাজানো চলবে, অর্থাৎ সে ধাঁধাটা সমাধানযোগ্য। অন্যদিকে, 'অনিয়মের' সংখ্যা যদি বিজোড় হয়, তাহলে ওই বিন্যাসটা পড়ছে দ্বিতীয় ভাগের ভেতরে, অর্থাৎ ধাঁধাটা সমাধানের অযোগ্য (শূন্য ‘অনিয়মকে’ জোড় হিসেবে ধরা হয়)।

‘এই ধাঁধার গাণিতিক ব্যাখ্যা সমাধান-বাতিকটাকে একেবারে মারণ-চোট হানল। গণিতে এই খেলার একটা পূর্ণাঙ্গ তত্ত্ব তৈরি হয়েছে, সন্দেহের কোন স্থান আর নেই তার ভেতর। অন্যান্য খেলার মতো এ খেলার সমাধান আন্দাজ বা উপস্থিত বুদ্ধির ওপর নির্ভর করে না। এর সমাধান নির্ভর করে একেবারে গণিতের হিসেবের ওপর। এ দিয়ে ফলটা আগে থেকেই একেবারে ঠিকঠিক বের করে ফেলা যায়।’'

এবারে এইরকম কয়েকটা ধাঁধা নিয়ে দেখা যাক। নীচে সমাধান করা চলে এমন তিনটে ধাঁধা দেওয়া হলো। উদ্ভাবক নিজেই এগুলো তৈরি করেছিলেন।

২১. লয়েডের প্রথম ধাঁধা

১১ নং ছবিতে ওপরে বাঁদিকের খোপটা খালি রেখে ঘুঁটিগুলোকে স্বাভাবিক নিয়মে সাজাতে হবে (১৩ নং ছবিতে যেমন দেওয়া আছে)।

২২. লয়েডের দ্বিতীয় ধাঁধা

১১ নং ছবিটা নিয়ে তাকে একটা কিনারার ওপর শোয়াও (অর্থাৎ চারভাগের একভাগ ঘোরাও) তারপর ঘুঁটি চেলে ১৪ নং ছবির মতন অবস্থায় নিয়ে এসো।

২৩. লয়েডের তৃতীয় ধাঁধা

খেলার নিয়মমতো ঘুঁটি চেলে ১১ নং ছবিটাকে 'যাদু বর্গক্ষেত্রে' পরিণত কর, অর্থাৎ ঘাঁটিগুলোকে এমনভাবে সাজাতে হবে যে, সবদিক দিয়েই যোগফল হবে ৩০।

সমাধান

১৯. ১৮ নং ছবিতে একটা যাদু-বর্গক্ষেত্রের নমুনা আছে। এতে প্রতি সারিতে ১৮টা করে ফোঁটা আছে। 

২০. এখানে ‘পাটিগণিত প্রগতির’ (ক্রমবর্ধমান) দুটো সারির নমুনা দেওয়া হলো। এতে সংখ্যাগুলোর তফাত হচ্ছে ২:

(ক) ০-০, ০-২, ০-৪, ০-৬, ৪-৪ (অথবা ৩-৫), ৫-৫ (অথবা ৪-৬)।

(খ) ০-১, ০-৩ (অথবা ১-২), ০-৫ (অথবা ২-৩), ১-৬ (অথবা ৩-৪), ৩-৬ (অথবা ৪-৫), ৫-৬।

এখানে ছয়টা করে ঘুঁটির মোট ২৩টা ক্রমবর্ধমান সারি আছে। যে ঘুঁটিগুলো দিয়ে শুরু করা হয়েছে, তা হলো:

(ক) ১ সংখ্যা করে বেড়ে গেছে এমন ক্রমবর্ধমান সারি:

০-০                         ১-১                          ২-১                          ২-২                          ৩-২

০-১                          ২-०                          ৩-০                         ৩-১                          ২-৪

১-০                          ০-৩                         ০-৪                         ১-৪                          ৩-৪

০-২                         ১-২                          ১-৩                          ২-৩                         ৩-৪

(খ) ২ সংখ্যা করে বেড়ে গেছে এমন ক্রমবর্ধমান সারি:

০-০                         ০-২                         ০-১

২১. এর সমাধান করা যায় নীচের মতো করে ৪৪টা চাল দিয়ে:

১৪, ১১, ১২, ৮, ৭, ৬, ১০, ১২, ৮, ৭, ৪, ৩, ৬, ৪, ৭, ১৪, ১১, ১৫, ১৩, ৯, ১২, ৮, ৪, ১০, ৮, ৪, ১৪, ১১, ১৫, ১৩, ৯, ১২, ৪, ৮, ৫, ৪, ৮, ৯, ১৩, ১৪, ১০, ৬, ২, ১।

২২. এর সমাধান করা চলে নীচের মতো করে ৩৯টা চাল দিয়ে:

১৪, ১৫, ১০, ৬, ৭, ১১, ১৫, ১০, ১৩, ৯, ৫, ১, ২, ৩, ৪, ৮, ১২, ১৫, ১০, ১৩, ৯, ৫, ১, ২, ৩, ৪, ৮, ১২, ১৫, ১৪, ১৩, ৯, ৫, ১, ২, ৩, ৪, ৮, ১২।

২৩. মোট ৩০ সংখ্যাওয়ালা যাদু বর্গক্ষেত্র তৈরি করা যায় নীচের মতো চাল দিয়ে:

১২, ৮, ৪, ৩, ২, ৬, ১০, ৯, ১৩, ১৫, ১৪, ১২, ৮, ৪, ৭, ১০, ৯, ১৪, ১২, ৮, ৪, ৭, ১০, ৯, ৬, ২, ৩, ১০, ৯, ৬, ৫, ১, ২, ৩, ৬, ৫, ৩, ২, ১, ১৩, ১৪, ৩, ২, ১, ১৩, ১৪, ৩, ১২, ১৫, ৩।